莱布尼茨的一篇惊世论文奠定了微分学的不朽地位

  在传统的大学本科课程中, 微积分是进入高等数学的入口。它慢慢的变成了工程师、物理学家、化学家、经济学家等各种专业技术人员的不可或缺的工具。

  微积分显然是17世纪数学的最高成就, 很多人认为它是整个数学发展史上的最高成就。

  20世纪最具影响力的数学家之一约翰 • 冯·诺依曼（John von Neumann, 1903—1957）写道：“微积分是现代数学取得的最高成就, 对它的重要性怎样强调都不会过分。”

  1684年, 一篇数学论文发表在《教师学报》上。它的作者是戈特弗里德 • 威廉 • 莱布尼茨, 这是一位兴趣广泛且有无限创造力的德国学者和外交家。这篇论文里密密麻麻地挤满了拉丁词语和数学符号, 当时的读者可能会觉得很难理解。今天看来, 理解这篇论文的主题的最好线索就是论文标题末尾出现的一个词：微积分（calculi）。

  这是第一部正式出版的微积分著述。它的题目翻译为《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法, 适用于有理量与无理量, 以及这种新方法的奇妙微积分计算》。calculus一词的本意是“一组规则”, 此处指的是适用于有关极大值、极小值以及切线等一类问题的一些规则, 莱布尼茨声称这些规则适用于有理数和无理数。他的发现意义如此重大, 后来这个单词成了不朽的数学名词。事实上, 数学家想要对这门学问给予特殊的关注时就会把它称为“the calculus”, 这听起来似乎更令人敬畏。

  它是令人敬畏的。在传统的大学本科课程中, 微积分是进入高等数学的入口（遗憾的是, 对某些人来说是一种障碍）。它慢慢的变成了工程师、物理学家、化学家、经济学家等各种专业技术人员的不可或缺的工具。微积分显然是17世纪数学的最高成就, 很多人认为它是整个数学发展史上的最高成就。20世纪最具影响力的数学家之一约翰 • 冯·诺依曼（John von Neumann, 1903—1957）写道：“微积分是现代数学取得的最高成就, 对它的重要性怎样强调都不会过分。”（注意, 冯 • 诺依曼此处提到的就是the calculus。）

  莱布尼茨写于1684年的论文内容是微分, 这是这门学科的两个分支之一。另外一个分支是积分, 1686年, 莱布尼茨在同一期刊上介绍了它。

  在探讨微分之前, 我们该粗略地介绍一下它的起源。尽管是莱布尼茨首先在17世纪80年代中期公开描述了微积分, 然而, 是艾萨克 • 牛顿在1664年到1666年首先研究了这个课题。当时还是剑桥大学三一学院的学生的牛顿创造了他所谓的“流数”, 这也是一组规则, 利用它们也可以求得极大值、极小值和切线, 它们也适用于有理数和无理数。总之, 牛顿的流数要比莱布尼茨发表的微积分早二十年。

  现代学者觉得他们二人分别独立发现了微积分。但是当时的数学界怀疑这是一种剽窃, 他们对这一荣誉的分配几乎毫无雅量。于是, 英国人坚持认为牛顿优先, 而欧洲大陆的数学家们则坚信莱布尼茨优先, 双方展开了一场激烈的争论。这场争论可以说是数学史上最不幸的一段插曲。

  牛顿和莱布尼茨发现的究竟是什么呢？微分学的核心是斜率和切线的概念, 一般高中的代数课会介绍斜率, 而切线则是高中几何课程的关键概念。切线出现在莱布尼茨的论文标题中, 但是我们先从斜率开始讨论。

  坐标值产生较小的变化（即垂直变化非常小）。但是对于右边倾斜较大的直线个单位则导致

  整整增加5个单位, 此时攀升速度相当快。如果我们要把一架钢琴拉上一个斜坡, 我们大家都希望其斜率是2/5而不是5/2。

  这一切似乎没什么现实意义, 但是事实并非如此。例如, 假设我们正在考虑一架飞机的运动, 其中

  的变化）, 即这个斜率代表飞机的速率（用每小时的飞行距离来衡量）。这个速率对飞行员来说很重要, 这一点是无可否认的。这一切都与斜率这样一个抽象的数学概念紧密关联, 说明这种思想在纯数学领域之外是何等重要。

  关系的图像是一条直线, 那么我们把这条直线的斜率解释为对应于单位销售量的变化而产生的利润变化, 即每销售一件产品所增加的效益。经济学家对这个概念是如此倾心, 他们甚至给它起了一个特殊的名字——边际利润, 它的值可以决定大型产业的发展过程。

  生活中有很多斜率的例子。像每公里耗油量、每秒前进距离或单位重量价格这样的度量, 表明斜率就在我们的身边。毫无疑问, 一些最重要的数学应用只要涉及一个量相对另一个量的变化比值, 就会体现出斜率的思想。

  有一个相应的增加。从图D-2上看, 这表明当我们向右移动时, 这条直线是向上攀升的。但是并不是所有线性关系都是这一类型。显然我们可能遇到这一种的例子,

  遗憾的是, 这一理论只适用于直线, 因为整条直线显示出相同的倾斜度, 即有相同的斜率。在数学中直线当然很重要, 但是显然现实世界的很多现象显现出多变的非线性的性质。飞机不可能以某个固定的速度飞行, 生产的全部过程也不可能呈现出不变的边际利润。总之, 我们怎么样确定曲线的斜率呢？要描述这样的一个问题, 我们最终要进入微分学领域。

  显然, 整个抛物线没固定的斜率。当我们沿着这条曲线移动时, 要不断地改变方向, 从左边进入, 开始下降, 然后在底部趋于水平, 之后向右上升。基础原理很显然：曲线不同于直线, 它每一点的斜率都不同。

  画出这条抛物线的切线, 并把抛物线（曲线）的斜率看成在这点的切线（直线）的斜率似乎是合理的。下面的情景给出了这种方法的合理性。

  假设我们沿着这条抛物线路径开一辆小车。我们先从左边往下开, 再水平移动, 然后向右往上爬, 越向上越陡。当正好到达点(3, 4)时, 我们突然飞出这辆车, 在车子继续沿着抛物线向上运行的同时, 我们则沿直线所示的箭头方向）。因此, 我们的飞行直线)处的切线, 这条切线的斜率就是抛物线在点

  这是一个格外的简单的计算, 遗憾的是, 它不是切线自身的斜率, 而是那条割线的斜率, 只能作为一个粗略的近似。我们怎么样改进这个估测呢？

  移动, 并计算我们行驶过程中相应的割线的斜率。这样的一连串计算出现在下面的表格里。

  。读者可能注意到, 这样的一个问题的代数强度已经上升了一两个等级, 但是为了寻找一个一般公式, 这样的努力还是值得的。

  趋近于零时这条割线斜率的极限就可以了。因此, 对我们的例子, 切线的斜率是由下面的极限给出的：

  , 这和前面表格给出的答案相同。如果我们要求点(1, 4)处的切线的斜率, 那么只需设

  趋近于零时相应割线斜率的极限。这个极限称为导数, 求导数的过程称为微分, 研究这些有关问题的数学分支称为微分学。

  微分学的目标之一就是发展更一般的公式。我们肯定不想局限于处理抛物线。使用与上述过程类似的过程, 数学家从一般函数

  处的切线的斜率。同上, 我们在这条曲线上选择一个邻近点, 它的第一坐标是

  的导数。利用这一记法, 我们大家可以得到一个在所有微分学书籍中都能够找到的基本公式：

  在此我们要说明关于导数定义的几点需要注意的几点。首先, 尽管有些函数的导数很容易从相关代数获得, 但是有很多函数的导数公式却导致数学上的混乱。更糟糕的是, 对某些函数来说, 它在一个点或几个点处甚至没有导数。对这种的函数来说, 我们没办法对有问题的点指定任意数作为这条曲线在该点处的切线给出了这样一个例子。在点(2, 1)处, 这个图像有一个尖角。没有办法画出这条曲线)处的唯一一条切线, 因为在这里它突然改变了方向。但是, 如果咱们不可以画出一条切线, 那么当然也就无法确定切线的斜率, 而斜率才是它的导数的意义。这个函数以及其他有锯齿状图像的函数在尖角处都没有导数。

  上面的例子说明, 伴随导数有极大几率会出现不好处理的难题。这些通常涉及“极限”这个概念, 从古时候起, 数学家就以不同形式与这种思想纠缠。极限的理论意义非常重大, 我们借它定义了导数。在此我们没必要谈及和深究这个概念的哲学意义。其实, 莱布尼茨也没有这样做。他很高兴地从“求极大值和极小值以及求切线的新方法”中寻求更直接的效益, 而不过度担心它们的理论基础。

  首先要强调, 知道一个函数能达到多大或多小, 换句话说, 知道一个函数的极大值或极小值, 在数学理论和应用两方面都是很重要的。在什么样的条件下, 我们大家可以极大化利润, 极小化汽油的消耗？极值问题是在现实世界中左右我们做出各种决定的关键。微分学为回答这样一些问题提供了工具, 这一事实充分说明了它的威力。

  但是怎么样确定呢？求极大值和极小值的关键是我们前面讨论的斜率：在小山的顶部或峡谷的底部, 曲线的切线是水平的, 即是一条水平直线, 正如我们前面所说的那样, 它的斜率是零。因此求极大值和极小值就促使我们去寻找一些特殊点, 满足曲线在这些点处的切线的斜率是零, 即在这些点导数等于零。用代数语言表示, 我们的任务就是求解方程

  作为一个例子, 看一下意大利数学家吉罗拉莫 • 卡尔达诺（Girolamo Cardano, 1501—1576）的一个论断, 我们将在第Z章中从不同的角度再次讨论此人。在考虑一个代数问题时, 卡尔达诺断言不存在两个实数满足其和等于10且其积等于40。利用微分学, 我们很容易证明他的结论。

  , 这就是这一个积所能取到的极大值。换句线。卡尔达诺说不存在和等于10的两个实数, 它们的乘积等于40, 显然他是正确的。