压轴题研题活动第85场2022年温州第24题

  听完杨再蓉老师的研题，突然间脑海中出现一首诗《墨梅》“我家洗砚池头树，朵朵花开淡墨痕。不要人夸颜色好，只留清气满乾坤。”此诗来形容杨老师的研题过程，实在太贴切。

  杨再蓉老师已经是第三次参与研题活动，并且这三次研题活动研究的压轴题均来自于浙江温州，研究教育发达地区的中考题，只是教研的一个突破口，通过研题，发现好题究竟好在何处，命题者的思想是什么，对地区的教学导向是什么，这一系列深层次的问题，在每次研题过程中，被杨老师研究得越来越透，这与仅仅只研究解题方法相比，显然高出不止一个维度，这需要更广阔的教研视野，或者说格局。

  2022年温州第24题作为一道优秀几何压轴题，图形很简洁美观，同时给人一种似曾相识的感觉，这种感觉换个角度，我们也称之源于教材，与无数优秀的几何压轴题一样，教材上的图形是它的母体。

  三角形和半圆(或圆)的组合图形，在人教版数学九年级上册中比比皆是，三角形的边与圆的位置关系涉及到直线和圆的位置关系，三角形的边与圆内的直径、半径、弦之间同样也存在关联，在这些基本关联之下，可设置的问题非常多，这是基本框架；若是三角形特殊一点，半圆的位置再特殊一点，一道好题的雏形就显现了。

  第1小题的解法其实非常多，我们应该选择其中最简洁的一种，即利用勾三股四弦五的直角三角形，这就对学生提出较高要求，熟知3：4：5的特殊直角三角形三边关系，并能迅速转换，杨老师在教学反思的第二点，如何导边中，已经有明确描述，这也是我自己平时教学中一直在思考的问题，几何教学中，关于边、角之间的等量关系，是接触最多的，这些等量关系，均可用等式或方程来描述，归根到底，数形结合的思想。

  第2小题建立了两条线段间的函数关系，事实上本题中其它线段之间也存在类似的函数关系，这里体现的命题思想是视线段为变量，建立它们之间的关系，并且用函数关系式来描述，更深层的目标是希望学生学会建立这种函数关系，理解几何图形的同时，脑子里不仅是图，更是数。在杨老师的教学反思，怎么样引导学生作图中，其实很好的解释了教学上的尝试，作图前先观察，再计算，最后才动笔，笔落之前，图已成型。与其说这是一种技能，更不如说这是一种习惯，一种数学学习习惯，三思而后行(作图)。

  第3小题中，分别考察了直角三角形存在性和线段比值问题，这在近年来温州的几何压轴题乃至全国各省市压轴题中，是很常见的考点。直角三角形的存在性，设置问题的时候，各顶点的动态位置决定了难度值，自由度越大，存在性越难解决，通常在初中阶段，会设置这些顶点在不同的直线(线段)上，并且给予这些顶点不同的运动状态，所以本小题将P和Q分别置于AB和BE上，并且给出了长度比，以方便学生用字母来表示，因此难点顺势改为直角顶点的位置，讨论三个顶点中，哪一个可能成为直角顶点。一旦确定了直角顶点，那么剩下的问题就转变成了求各边的长度，这时，勾三股四弦五的三角形再次派上了用场。

  线段比值问题中，轴对称的作用很重要，需要学生通过作图，直观上去寻找各线段间的关系，然后再仔细求证，在前面思考过程中，无论成功失败，某些可信的结论依旧有用，尤其是△ERQ，它始终是等腰直角三角形，这在整个运动图形中显得很特别，但需要学生敏锐地发现，这种能力十分难得。

  温州这道题，将涉及到的知识巧妙地关联了起来，并设置了阶梯难度，有着很好的区分度，通过杨老师的研题解读，我们大家可以细究命题背后的意图，从而体会当地的初中数学教学导向，显然他们是正确导向了学生的核心素养提升。

  通常情况下，研题PPT中，解法部分和反思部分的比例应该接近1：1，这是最为理想的情况，毕竟研题活动是通过压轴题去反思、指导我们的课堂教学，并非单纯的解题交流，这是一种更高层次的教研活动，除了会解题、会讲题之外，还得会讲课，个人觉得，会讲课的老师就是优秀数学老师。

  关于作图的启示，在初中阶段，学生作图属于工具作图，可利用的工具有直尺、三角尺、圆规等，包括尺规作图(无刻度直尺和圆规)、网格作图等，新课标中对尺规作图有明确的要求，在进行作图之前，需要让学生明白手中的工具如何用，无刻度直尺，对应的作图语言是“延长、连接”，圆规，对应的作图语言是“截取、作弧(圆)”，我们在平时教学中，需要教会学生工具的上述用法，在尺规作图基础上，借助更特殊的工具例如三角尺，我们大家可以快捷地作出诸如平行、垂直、旋转、轴对称等更复杂的几何图形；网格作图类似于尺规作图，目前在中考压轴题中，网格作图最难的是以天津市中考为代表，其次是武汉市中考数学为代表，吃透网格作图，需要全等、相似、圆等知识辅助，这类题目的难度跨度非常大，极易到极难，都有涉及。

  在新课标第67页明确了尺规作图的基础要求和拓展要求，其中例76值得思考，过圆外一点作圆的切线，这要求学生对已经掌握的尺规作图基本操作进行“排列组合”，而要成功完成这些操作，需要具备切线的判定定理、直角三角形、直径所对的圆周角等知识，所以尺规作图并不是只会考察学生的作图，而是较为全面的考察学生的几何知识掌握情况，只是通过作图这种形式来检查。这道例题中，我们从作切线时，就需要想到切线的判定，即需要找到圆上一个点，这个点和圆心相连是半径，和圆外一点相连是切线，同时半径和切线应该是垂直关系，然后应该要依据这些需求，构建出一个斜边为定长的直角三角形，这就想到构建一个新圆，如果想不到，则反思在学习圆周角这一课中，是否给足学生时间去理解“直径所对的圆周角是直角”以及“90°的圆周角所对的弦是直径”这两个定理。同时这道作图题顺便也解决了为什么过圆外一点作圆的切线，会有两条的直观结果，它还为证明切线长定理埋下了伏笔。

  这些关于作图教学的思考，其实平时杨老师一直在进行，并且在教研组内进行过类似的交流讨论，研题中所展示的只是冰山一角，有了平时教研的深厚功底，教学反思面临最大的问题不是无话可说，而是择其精要，选择与本题最为接近的教学场景反思，用感触最为深刻的课堂进行反思。如果说参加研题，想把题研好，研透，功夫还是要花在平时的课堂教学上，认真备好课，上完课认真反思，积累素材，假以时日，一定能像杨再蓉老师这样游刃有余。

  我们从来不指望用一节课就把学生教好了，教育规律的本质是一种“慢”，我们不是科幻小说中的三体人，生下来就具备父母的部分记忆，直接进行思维交流，作为普通人类，我们只可以通过口口相传，去传承知识和技能，出吾口，入汝耳，观其行，省已身。

  压轴题研题，解题当然是第一步，作为教师，独立思考出解题策略，并且给出相应的思考方法，既要知其然，更要知其所以然，然后对照参领悟命题者的导向，两步不能颠倒，如果作为一名数学教师，不会解题是万万说不过去的，虽然不要求每一道压轴题都能迅速解出来，但教师解题能力，显然是教学基本功之一；第三步开始，步入研题正轨，进行教学思考，这一步走得更加缓慢，原因之一是我们的教学思考并非是从拿到这道压轴题开始思考，而是在平时教学工作中积累了很多感悟或经验，通过这道压轴题的研究，触发教学思考，具体到一节课的教学设计是否科学，作业设计是否完善，课堂把控是否得当，作为杨再蓉老师的同事，经常在办公的地方里讨论一节课的得失，一次作业批改的趣事，这就是积累，这也是教研活动最基本的元素，所以在听杨老师研题过程中，许多话题似曾相识，限于时长，未能全部展现，诚为遗憾。

  2022年温州24题中的导边策略，从最简单的线段相等开始，涵盖内容其实很广泛，涉及到线段中点、全等三角形、等腰三角形、特殊四边形、圆等，这一些内容都需要在平时的教学中让学生领会，因此围绕怎么样做导边，杨老师进行了大量尝试与思考，许多方法也是我平时未曾细究的，这种原创思考，个人觉得更加有助于教师自身的专业成长，在我眼中，杨老师已然是教学专家。

  不同于急功近利的刷题战术，一道压轴题，如果仅仅是把题目做一遍，再给学生做一遍，再讲一遍，实在是太浪费，所以在教学启示的第三点中，杨老师提到了怎么样去使用压轴题，通俗点说，把一道压轴题嚼碎了喂，分解一道压轴题，并非简单降低难度，而是在深刻理解命题思想之后，针对性进行试题二次创作，并且将这种“原创题”分散到对应的作业设计中，篇幅所限，杨老师没有展示全部的作业设计，我们只可以窥豹一斑，然而实际教学工作中，作为见证者，目睹了杨老师这种行之有效的教学实践，取得了优异的教学效果，这值得我学习。

  为何洗砚池头树，花开淡墨痕？灿烂的思想之花，我们在看到精彩的同时，需要思考它为什么这么灿烂？这是积累之功，本次的研题，不过是一次厚积薄发。

  再次感谢杨再蓉老师的精彩研题，又创造了许多新的研究课题，我也能有更多机会向杨老师学习，学习怎么样当好一名优秀的初中数学老师。

  开学第二周，杨再蓉老师为我们大家带来了新年的第一道大餐，作为2023研题第一讲，杨老师的讲解给我起到了非常好的示范引领作用，认真听完之后，收获满满。

  2022浙江温州中考数学第24题是一道圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，圆周角定理，三角函数等知识，灵活运用数形结合思想，通过规范画图，利用三角函数或三角形相似表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键。题目层层递进，以动点为线索循序渐进的设置问题，设计精巧，注重考察了学生对基本概念的掌握、基本数学思想的运用、基本素养的达成。

  杨老师对题目品读分析深入，贴合课标，解法流畅，讲解细致，注重基本素养的达成，为我做了良好的示范。

  第一问是圆的切线问题，最简单，连接OD，设半径为r，利用△COD∽△CBE，得OD/BE=CO/CB，代入计算即可。

  第二问是一个数形结合的问题，我们可由(1)计算求AC的长，再根据CP=AP+AC，用含x的代数式表示AP的长即可。

  第三问①小问中 ∆PQR的三个顶点均为动点，杨老师的讲解则抓住不变的量进行深入分析，从而突破了难点，体现了动中取静的思想；①小问根据题意分三种情况做讨论：（1）当∠PRQ=90°时，明显不符合；（2）当∠RPQ=90°时，则四边形RPQE是矩形；（3）当∠PQR=90°时，过点P作PM⊥BE于点M，则三角形QPM是等腰直角三角形；在这一小问讲解中，杨老师强调“画好图是取胜的法宝”，指出了规范画图对解决几何问题的及其重要的作用，紧扣课标要求，对我们日常教学具有很强的指导意义。

  第三问第②小问中，杨老师抓住点F这一特殊点，连接AF，QF，由对称得出QF=QF，∠FQR=∠EQR=45°，再用三角形相似解决实际问题。此处利用三角函数表示出BF和BF的长度，也能解决问题。在这一问中杨老师再次强调了“画好图是取胜的法宝”这一观点。

  在教学反思环节，杨老师通过解读新课标要求和分析学生作业再次强调“画好图是取胜的法宝”；又用不同模型和变式训练展示了如何引导学生优化导边策略、培养对比分析能力；最后还分享了在平常的作业设计中，如何合理的给学生布置压轴题。杨老师的反思思考深刻，非常具有针对性，值得学习。

  认线年浙江省温州市中考数学第24题的讲解，可谓是收获满满。本题是基于圆和直角三角形的背景，主要考察了三角形相似、圆的切线的定义及性质、三角函数等内容。

  第一问求半圆0的半径，利用圆的切线的定义，连接OD，得到A字形相似，利用相似或者三角函数得出关于半径r的方程，从而求得半径。本题最后，杨老师进一步分析题干，明确定点和动点，为解决后面两问打下基础。

  第二问求关于 函数表达式，用含x的代数式表示y，直接根据图形，容易发现线段之间的数量关系。

  第三问，是一个动点问题，是本题的难点所在。我们从结论出发，当 △PQR为直角三角形时，P、Q、R这三点的位置具备哪些特征呢？究竟△PQR中哪个角是直角呢？这里提示我们需要分类讨论。△PQR的三个内角分别为90度时，分别讨论，求出x的值即可。在三种情况下，杨老师特别注重画图能力，先画出每种状态下的图形，然后在图形的基础上再进行分析。在第二种情况下，也即当 ∠RPQ=90°时,由∠E=∠EPR=90°易得四边形ERPQ是矩形，杨老师提供了多种思路来列得关于x的方程，利用了矩形的性质、三角函数、三角形相似等多种方法，方法多样，讲解细致清晰。在第三种情况当∠PQR=90°下，作出图形，形成一线三直角的相似模型，从而可采用相似构建关于x的等量关系。这一问虽是动点问题，但是考察的大多是常规常法，值得学生日常思考和练习。在第二小问中，由题干的对称点，作出图形，从而△FQF为等腰直角三角形，而△EQR也是等腰直角三角形，所以想到利用三角形相似求解。从本问可以看出会准确的作出图形是解答本问的重中之重！

  在教学启示环节，杨老师提出要敢于画图、要培养学生的对比分析能力、要优化作业设计，杨老师从日常的教学和本题都给予了案例分析，全面且深刻，值得学习！最后再次感谢杨老师带来的精彩的研题盛宴！

  有幸学习了杨再蓉老师关于2022年浙江省温州市中考数学第24题的讲解，过程着色明朗，主次分明，尤其反思部分让人回味无穷，更重要的是给教学留下很多有实效性的思考印记。

  前两问充分调动了三角函数与相似相互兼容性，这一点很多研题老师已经讲得十分透彻了。在解决了第一问以后，杨老师做了一个“展开确定性分析”具有很强的带入感：这不正是学生缺乏对图形内在联系的分析能力吗？确定定点定形，了解它们量的可求性；领会动点及他们给图形带来的变化，通过对动点多次画图实现纸上动画效果辅助思考，明晰与其相关元素间的内在联系，对解决几何问题有极大作用。如第（1）问，确定外围△BCE的大小后，半圆O既要以OB为半径，又要与CE相切。若半径OB是变化的，则会影响OD的大小，无法满足与CE相切，这就使点O也得以固定，即半径可求。（2）中BQ变化带动AP的变化，而在线段CB内部“线段群”里，只有点P是动点，求出y与x的关系式是必然的。

  对于（3）①其中一种情况，发现四边形RPQE的形状对求解决该问起到很大的催化剂作用，能够从不同方向和思维视角寻求等量关系，运用不同策略构造方程解决。该问基本图形是一个直角三角形中内接一个正方形，这个在平时教学中学生应该积攒了足够的经验，让他们比较从容的面对。另一种情况是“一线三直角”模型，学生也不难联想到相应的辅助线构思解答，可见一些压轴题是将几个基本图形进行有机的拼凑与连接，赋予有活力的思维含量。杨老师整个过程的讲解非常精细，反思中对习惯和概念教学进行了课例展示，对学生思维训练起到很好的示范作用。在反思优化导边环节杨老师做了对比和归纳，也优化了计算量。这一点在考场上十分重要，学会预估计算量也是思维选择模块的一部分。如在列完比例式a:b=c:d后，要提前预估这个方程解决的投入时间和精力。首先要明晰四个量a、b、c、d中可以用这个等式“知三求一”，也可以“知二设一表一”，然后再根据具体情况选择是否继续。以上部分可采纳杨老师的建议设计为作业，既解决了刷题的枯燥，也同样训练了思维能力。

  在课例垂直平分线的概念教学展示中，部分老师直接给出概念，然后在直线上取点，连接该点与线段的两个端点，问学生这两条线段有何数量关系，再让学生证明，一节课45分钟内容20分钟就讲完了，紧接着是给学生紧锣密鼓的刷题，这让我们的学生如何爱数学。杨老师首先让学生在平面内任意画点，从本质出发，再来观察到AB两个端点距离相等的点的特征，在经历了这个过程之后，再让学生理解垂直平分线的性质就非常自然了。

  感谢杨老师精彩的讲解，让我们在疫情平息之后又一次体验了春风化雨润物无声的气息。春风有信，花开有期，我们在阳光下，往返于生与长的春天；我们在人群中，往返于教与研的两地。所有美好都在路上，希望有更多机会向各位专家同仁们共同学习！

  杨老师讲解的2022年浙江省中考数学第24题是一道圆的综合题，本题以点的运动为主线，循序渐进设置问题，在图形结构的变与不变中融入了圆、相似三角形、直角三角形、方程、轴对称等核心知识。考查了数形结合、方程等数学思想方法；通过杨老师的精彩讲解，我收获颇多，分享如下：

  第一问求半圆0的半径，利用圆的切线性质，连半径，得垂直，再由平行得出三角形相似，通过线段之比求出半径。在解决第一问后，杨老师进一步分析题目条件，明确图形中的定点及动点，以及线段AP的长随着线段BQ的长度的变化而变化，为解决后面问题作了铺垫。

  第二问通过AP与BQ的数量关系，可以表示出AP的长，根据CP=AP+AC得出y与x的函数关系。

  第三问是本题的难点，第①问中若△PQR为直角三角形时，求x的值，显然点P、Q、R为动点，△PQR是一个运动变化的三角形，要让△PQR为直角三角形，需分情况讨论△PQR各顶点分别为90°的情形，即当∠QRP=90°时，点R与E重合，不符合题意，故舍去；当∠RPQ=90°时，可证得四边形ERPQ为矩形，利用PR=EQ列出方程，求出x的值；当∠RQP=90°时，构造一线三直角得相似三角形，通过相似三角形的性质列出方程，从而求解。在此问中，杨老师再三强调“画好图形是取胜的法宝”。第②问中杨老师抓住定点F，连接AF，通过三角形相似求出BF的长，借助上一问中证出了△REQ是等腰直角三角形，再依据对称的性质，可证出△FQF’也是等腰直角三角形，最后利用相似处理问题。

  最后，杨老师利用了大量时间进行教学反思，杨老师通过解读新课标以及展示不同学生的作图结果，分析出现的问题，强调作图的重要性，对于“如何在平时教学中提高学生分析问题的能力”，杨老师通过具体实例对概念教学作了详细的研究，杨老师还展示了怎么样引导学生优化导边策略、培养学生的对比分析能力，如何给学生布置压轴题，杨老师的教学反思全面且深刻，具有实操性。

  近三年来一直选择浙江省温州市的压轴题进行研题促教，缘起我的教研组长黄毅老师曾经在宜昌市第三十中学进行过一次线下研题活动。他选择的题目是2019年浙江省温州的压轴题，那题很有特色，因为是宜昌教师很少见到的一次函数压轴题。每年关注温州压轴题，每次都被出题人的智慧所震撼，每次研温州压轴题都给我的教学带来启发。我的教研之路也因此而被拓宽，教学能力也因三次研题得以提升。以下研题心得或是对本次直播中需要补充的作适当补充，或是对没有将透彻的地方再做详解，或是对讲的冗长拖沓的地方再做精炼，总之，认真写好研题心得亦是磨炼心智，提升心性的快捷方式。

  2022年温州压轴题秉承当地特色，在前两年的压轴题中有迹可循。2020年的压轴题描述：“······当点P从点D匀速运动至点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N······”，而2022年的压轴题这样描述：“点P，Q分别在线段AB、BE上（不与端点重合），且满足AP:BP=5:4”，上述两句话是同一个问题的不同描述。

  2021年压轴题考察相似三角形的存在性问题，而2022年第三问圈1考察的直角三角形的存在性问题。连续四年浙江省温州压轴题中均涉及一次函数，尤其是2020年和2022年的题以点的运动为主线循序渐进设置问题，由图形中运动的点生成相关线段的长，将其中一段线段的长看做自变量x,则运动过程中另一段线段的长随着它的变化而产生一些变化，两段线段的长满足一个一次函数。处理问题需要充分调用学生在几何图形中理解函数实际意义的能力。充分考察学生核心知识点以及核心思想。考查素养的同时充分的发挥评价对教与学的积极导向作用。

  研题中的教学启示2谈到的优化解法实质上来源于人教版八年级下学期数学教材第34页拓广探索第七题，其中的k值就是“相似比”。教师能在九年级下学期学习三角函数和相似三角形时将这道题适时再做拓展（由直角三角形拓展为一般的三角形），结合相似图形的定义（两个图形相似，其中一个图形可以看做是由另一个图放大或缩小得到.）让学生进一步理解八下拓广探索题中的k可以拓展为任意正数。

  一方面：大脑的构造仍处于狩猎者大脑时期，所以大脑仍然习惯保存能量以期望获得生存，大脑并不是特别喜欢思考问题，大脑习惯“偷懒”。历经数百万年,我们的大脑虽不断进化,赋予我们必备的生存技能。这些技能包括识别模式,产生有意义的联结,以及根据一星半点的信息进行迅速的判断和推论。幼儿园的小朋友会的基本的数数很容易,因为我们拥有将语言与手指动作一一对应的能力,但我们的大脑没有为精确计算所需的算式而装备,比如说乘法,比如，研题中所述“优化的导边策略”，因为这些操作并不是我们这个物种生存所必须的。另一方面，想要在数学考试中取得理想的成绩，拥有较高的计算能力又是必不可少的。因此，与其让学生在考试中调用精锐能量高耗能去计算，不如在平时的过程中由教师指导带领学生寻找到最优算法，让学生在平时就调用好心理回路，考试时候拿来就用。本题中，平时研究好最优导边策略，在考试中大脑才会将同类型导边问题交给系统1来自动执行，从而释放系统2的精力以应对新情境中的新问题,比如发现图形中线段的数量关系，列出方程等。这样的教学有利于节省学生的大脑能量，有利于学生解题能力的提升。

  怎么样充分的将脑科学知识、心理学知识与数学教学真正的融合从而促进教学是我今后努力的方向。

  研题之路，艰辛而极具价值，枯燥而不失充实，道阻且长，行稳致远，久久为功。教师不草率，不盲动，不盲从，学生才能走的稳，走的远。最后，再次感谢张博士提供的研题平台，感谢群内专家们的精准指导，感谢黄毅老师、刘国洪老师、丁芳老师、王刚老师、王玉莹老师的精彩点评，让我在一次次的学习过程中慢慢成长.

  杨再蓉，女，宜昌市第十中学教师。从教以来多年担任班主任和数学教学工作，坚持记读书笔记，坚持写教学反思，积累了丰富的教育教导学生的经验！教育中将爱心送给学生，将诚信送给家长，信心留给自己，一直对教育有极高的热情！